5. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 1, а угол между ними равен 20°. Докажите, что основание треугольника больше 1/3.

Для доказательства того, что основание треугольника больше 1/3, при известных боковых сторонах, равных 1, и угле между ними в 20°, воспользуемся теоремой косинусов. Пусть основание треугольника равно x. Тогда по теореме косинусов: \[x^2 = 1^2 + 1^2 - 2 cdot 1 cdot 1 cdot \cos(20^\circ)\] \[x^2 = 2 - 2 \cos(20^\circ)\] \[x = \sqrt{2 - 2 \cos(20^\circ)}\] Теперь нужно доказать, что \[\sqrt{2 - 2 \cos(20^\circ)} > \frac{1}{3}\] Возведем обе части в квадрат: \[2 - 2 \cos(20^\circ) > \frac{1}{9}\] \[\frac{18}{9} - 2 \cos(20^\circ) > \frac{1}{9}\] \[\frac{17}{9} > 2 \cos(20^\circ)\] \[\frac{17}{18} > \cos(20^\circ)\] Теперь нужно проверить, верно ли это неравенство. Известно, что \(\cos(20^\circ) \approx 0.9397\). Сравним с \(\frac{17}{18} \approx 0.9444\). Так как \(0.9444 > 0.9397\), неравенство \(\frac{17}{18} > \cos(20^\circ)\) выполняется. Следовательно, основание треугольника больше 1/3. Ответ: Основание треугольника больше 1/3.