4. Докажите, что сумма диагоналей выпуклого пятиугольника ABCDE больше периметра, но меньше удвоенного периметра.

Для доказательства того, что сумма диагоналей выпуклого пятиугольника ABCDE больше периметра, но меньше удвоенного периметра, можно использовать неравенство треугольника. Рассмотрим диагонали, исходящие из одной вершины пятиугольника. Например, из вершины A. Диагональ AC разбивает пятиугольник на треугольник ABC и четырехугольник ACDE. Аналогично, диагональ AD разбивает пятиугольник на треугольник ADE и четырехугольник ABCD. Сумма диагоналей больше периметра: Доказательство опирается на последовательное применение неравенства треугольника. Сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Например, для треугольника ABC: AC < AB + BC. Суммируя такие неравенства для различных треугольников, образованных диагоналями и сторонами пятиугольника, можно показать, что сумма диагоналей превышает периметр. Сумма диагоналей меньше удвоенного периметра: Каждая диагональ меньше суммы двух сторон пятиугольника, между которыми она проходит (снова из неравенства треугольника). Если сложить все диагонали, то получится сумма, которая меньше удвоенной суммы всех сторон (т.е. удвоенного периметра), так как каждая сторона будет учтена как часть суммы сторон, ограничивающих диагональ. Подробное формальное доказательство требует более детального рассмотрения всех диагоналей и применения неравенств треугольника к соответствующим треугольникам и четырехугольникам, образованным в пятиугольнике.