C—3. 2. Дан параллелограмм ABCD. На продолжении диагонали AC за вершины A и C отмечены точки A₁ и C₁ соответственно так, что AA₁ = CC₁. Докажите, что ∠BA₁D = ∠BC₁D.

Рассмотрим поворот на 180° вокруг точки пересечения диагоналей параллелограмма. Это преобразование переводит A в C, B в D, а D в B.

Поскольку A₁ и C₁ лежат на продолжении AC за противоположные вершины и AA₁ = CC₁, тот же поворот переводит A₁ в C₁. Поэтому угол ∠BA₁D переходит в угол ∠DC₁B. Поворот сохраняет величину угла, а ∠DC₁B и ∠BC₁D — один и тот же угол.

Следовательно, ∠BA₁D = ∠BC₁D.