C–36. 1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, K — середина BO. Выразите вектор \(\overrightarrow{AK}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}=m\) и \(\overrightarrow{AC}=p\). 2. Даны четырёхугольник ABCD и произвольная точка O. Известно, что \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}\), \(\angle A=15^\circ\). Найдите остальные углы этого четырёхугольника.

1. Так как O — точка пересечения диагоналей параллелограмма, она является серединой диагонали AC:

\(\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12p\).

Точка K — середина отрезка BO, поэтому

\(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=m+\frac12\overrightarrow{BO}\).

\(\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}=\frac12p-m\).

Следовательно,

\[\overrightarrow{AK}=m+\frac12\left(\frac12p-m\right)=\frac12m+\frac14p.\]

Ответ: \(\overrightarrow{AK}=\frac12m+\frac14p\).

2. Из условия

\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}\]

следует, что \(ABCD\) — параллелограмм: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).

В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна \(180^\circ\). Поэтому

\(\angle C=\angle A=15^\circ\),

\(\angle B=\angle D=180^\circ-15^\circ=165^\circ\).

Ответ: \(\angle B=165^\circ\), \(\angle C=15^\circ\), \(\angle D=165^\circ\).