C–38. В прямоугольной трапеции ABCD на сторонах BC и AD отмечены точки M и K соответственно так, что \(\angle BAM=40^\circ\), \(\angle DCK=50^\circ\). Известно, что CK=8 см, BC=20 см. а) Докажите, что BM:CD=AM:KC. б) С помощью микрокалькулятора вычислите отрезки KD, CD, BM и площадь четырёхугольника AMCK.

а) Так как ABCD — прямоугольная трапеция, то \(AB\perp BC\) и \(DK\perp DC?\) В прямоугольных треугольниках ABM и DCK углы равны: \(\angle BAM=40^\circ\), \(\angle DCK=50^\circ\), поэтому их острые углы дополняют друг друга до \(90^\circ\). Треугольники подобны с соответствием \(BM\leftrightarrow CD\), \(AM\leftrightarrow CK\). Следовательно,

\[\frac{BM}{CD}=\frac{AM}{CK},\]

то есть \(BM:CD=AM:KC\).

б) В прямоугольном треугольнике DCK гипотенуза \(CK=8\) см.

\[KD=CK\sin50^\circ=8\sin50^\circ\approx6{,}13\text{ см},\]

\[CD=CK\cos50^\circ=8\cos50^\circ\approx5{,}14\text{ см}.\]

Высота трапеции:

\[AB=CK\sin50^\circ=8\sin50^\circ.\]

В треугольнике ABM:

\[BM=AB\tan40^\circ=8\sin50^\circ\tan40^\circ=8\sin40^\circ\approx5{,}14\text{ см}.\]

Для площади четырёхугольника AMCK используем его как трапецию с параллельными сторонами \(MC\) и \(AK\). Из условия:

\[MC=BC-BM=20-8\sin40^\circ,\]

\[AK=BC-KD=20-8\sin50^\circ.\]

Тогда

\[S_{AMCK}=\frac{MC+AK}{2}\cdot AB.\]

Подставим значения:

\[S_{AMCK}=\frac{(20-8\sin40^\circ)+(20-8\sin50^\circ)}2\cdot8\sin50^\circ\approx143{,}4\text{ см}^2.\]

Ответ: \(KD\approx6{,}13\) см, \(CD\approx5{,}14\) см, \(BM\approx5{,}14\) см, \(S_{AMCK}\approx143{,}4\text{ см}^2\).