C–6. 1. В прямоугольнике MPKH O — точка пересечения диагоналей, PA и HB — перпендикуляры, проведённые из вершин P и H к прямой MK. Найдите угол POM. Известно, что MA = OB.

Обозначим длину диагонали MK через L, а проекцию вектора MP на MK — через x. Тогда MA = x. Поскольку H и P — противоположные вершины прямоугольника, проекция H на MK отстоит от M на L − x. Точка O — середина MK, поэтому OB = |L/2 − x|.

Из MA = OB получаем x = |L/2 − x|. Так как 0 < x < L, отсюда x = L/4.

Пусть M — начало координат, а векторы MK и MP равны k и p. Прямой угол прямоугольника даёт p · (k − p) = 0, поэтому p · k = |p|². Из проекции MA = L/4 следует p · k = L²/4, а значит, |p|² = L²/4.

Тогда OM = L/2 и OP = |p − k/2| = L/2. Кроме того, OM · OP = L²/8, поэтому cos ∠POM = (L²/8)/(L²/4) = 1/2.

Ответ: ∠POM = 60°.