C–6. 2. В четырёхугольнике MPKH диагонали пересекаются в точке O, ∠OMH = ∠OHM, PH = MK, PK = MH. Найдите угол MHK.

Так как ∠OMH = ∠OHM, треугольник MOH равнобедренный, следовательно, OM = OH. Обозначим эту длину через x.

Поскольку O лежит на диагоналях PH и MK, имеем PH = PO + OH, MK = MO + OK. Из PH = MK и OM = OH следует PO = OK. Обозначим PO = OK = y.

Углы POK и HOM вертикальные. По теореме косинусов:

PK² = 2y²(1 − cos ∠POK), а MH² = 2x²(1 − cos ∠HOM).

Учитывая PK = MH и равенство вертикальных углов, получаем x = y. Теперь векторы HM и HK пропорциональны соответственно разности и сумме двух равных по длине векторов, выходящих из O. Их скалярное произведение равно нулю, следовательно, HM ⟂ HK.

Ответ: ∠MHK = 90°.