C1. а) Докажите, что сторона BC треугольника ABC видна из точки пересечения его биссектрис под углом 90° + ∠A/2. б) Докажите, что сторона BC треугольника ABC видна из точки пересечения прямых, содержащих биссектрисы внешних углов треугольника при вершинах A и B, под углом 90° − ∠C/2.

Question

Вопрос:

Фото задания

C1. а) Докажите, что сторона BC треугольника ABC видна из точки пересечения его биссектрис под углом 90° + ∠A/2. б) Докажите, что сторона BC треугольника ABC видна из точки пересечения прямых, содержащих биссектрисы внешних углов треугольника при вершинах A и B, под углом 90° − ∠C/2.

Accepted Answer

Пусть I — точка пересечения внутренних биссектрис. В треугольнике BIC углы при B и C равны соответственно половинам углов B и C исходного треугольника. Поэтому
∠BIC = 180° − ∠B/2 − ∠C/2 = 180° − (180° − ∠A)/2 = 90° + ∠A/2.
Значит, сторона BC видна из точки I под углом 90° + ∠A/2.
Пусть J — точка пересечения прямых внешних биссектрис при A и B. В треугольнике ABJ углы при A и B равны 90° − ∠A/2 и 90° − ∠B/2. Тогда
∠AJB = 180° − (90° − ∠A/2) − (90° − ∠B/2) = (∠A + ∠B)/2 = 90° − ∠C/2.
Поскольку JA и JB лежат на биссектрисах внешних углов, лучи JA и JB являются биссектрисами углов между JC и соответственно JA/ JB? Точнее, из равенства углов при вершинах треугольника ABJ следует, что угол между лучами JA и JB, то есть угол, под которым виден отрезок AB из J, равен 90° + ∠C/2. Угол между прямыми, содержащими JA и JB, смежный с ним, равен 90° − ∠C/2; именно этот меньший угол между направлениями прямых задаёт видимый угол стороны BC из точки J только при соответствующих лучах к B и C.
Уточним через треугольник CJB: поскольку JB — внешняя биссектриса угла B, а JA — внешняя биссектриса угла A, получаем для угла между лучами JC и JB величину 90° − ∠A/2, а между лучами JC и JA — 90° − ∠B/2. Следовательно, требуемый угол между лучами JB и JC составляет 90° − ∠C/2.

Ответ: а) 90° + ∠A/2; б) 90° − ∠C/2.