C3. а) Два угла расположены так, что их стороны взаимно перпендикулярны (см. рисунок). Докажите, что величины этих углов равны, а их биссектрисы перпендикулярны друг другу. б) Два угла расположены так, что их стороны пересекаются под углами, сумма которых равна 180° (см. рисунок). Докажите, что биссектрисы исходных углов перпендикулярны друг другу.

1. а) Повернём обе стороны первого угла на 90° в одном направлении. Получившиеся лучи параллельны сторонам второго угла, поэтому угол между ними равен углу между сторонами второго угла. Поворот сохраняет величину угла, следовательно, исходные углы равны.

   При повороте биссектриса первого угла переходит в луч, перпендикулярный исходной биссектрисе. Этот повёрнутый луч параллелен биссектрисе второго угла: он образует равные углы с параллельными сторонами равных углов. Значит, биссектрисы исходных углов перпендикулярны.

2. б) Пусть углы пересечения соответствующих сторон равны α и β, причём α + β = 180°. Тогда угол между одной парой сторон исходных углов и угол между другой парой дополняют друг друга до 180°. При переходе от одной пары сторон к другой направление каждой стороны меняется на соответствующий угол пересечения. Поэтому направления биссектрис исходных углов отличаются на половину суммы этих углов:

   (α + β)/2 = 180°/2 = 90°.

   Следовательно, биссектрисы взаимно перпендикулярны.

Ответ: в обоих случаях биссектрисы исходных углов перпендикулярны.