C1. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите BC, если AB = 34.

Пусть биссектриса угла A пересекает BC в точке E. Так как \(BC\parallel AD\), то \(\angle AEB=\angle DAB\). По условию AE — биссектриса угла DAB, поэтому \(\angle BAE=\angle EAD\). А из параллельности BC и AD следует \(\angle AEB=\angle EAD\). Следовательно, \(\angle BAE=\angle AEB\), значит, треугольник ABE равнобедренный и \(AB=BE\).

Аналогично, поскольку точка E лежит на биссектрисе угла D, треугольник DCE равнобедренный, поэтому \(DC=CE\). В параллелограмме \(DC=AB=34\), значит, \(BE=CE=34\).

Тогда \(BC=BE+CE=34+34=68\).

Ответ: 68.