C2. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны AB. Известно, что MC = MD. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина AC и BD.

В треугольнике ABC отрезок MO соединяет середины AB и AC, следовательно, \(MO=\frac{BC}{2}\). В треугольнике ABD он соединяет середины AB и BD, поэтому \(MO=\frac{AD}{2}\). Так как в параллелограмме \(BC=AD\), получаем \(MO=\frac{BC}{2}=\frac{AD}{2}\).

Из условия \(MC=MD\). В треугольниках MOC и MOD имеем \(OC=OD\) (диагонали делятся пополам), \(MC=MD\) и \(MO\) — общая сторона. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам, а значит, \(\angle MOC=\angle MOD\).

Точки C, O, A лежат на одной прямой, а D, O, B — на другой. Поэтому углы MOC и MOD смежные, их сумма равна 180°. Будучи равными, они по 90°. Значит, диагонали параллелограмма перпендикулярны.

Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом; однако отсюда прямоугольность не следует. Проверим условие: равенство MC=MD при M — середине AB действительно задаёт равенство расстояний до C и D, что в векторной записи означает \(AB\cdot AD=0\). Следовательно, соседние стороны перпендикулярны, и параллелограмм является прямоугольником.

Доказано.