C1. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A(1; 6), B(4; 2), C(0; −1), D(−3; 3) является ромбом. Будет ли ромб ABCD квадратом?

Вычислим длины сторон по формуле расстояния между точками:

\(AB=\sqrt{(4-1)^2+(2-6)^2}=\sqrt{9+16}=5\).

\(BC=\sqrt{(0-4)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{16+9}=5\).

\(CD=\sqrt{(-3-0)^2+(3-(-1))^2}=\sqrt{9+16}=5\).

\(DA=\sqrt{(1-(-3))^2+(6-3)^2}=\sqrt{16+9}=5\).

Все четыре стороны равны, поэтому ABCD — ромб.

Проверим, является ли он квадратом: диагонали имеют векторы \(\overrightarrow{AC}=(-1;-7)\) и \(\overrightarrow{BD}=(-7;1)\). Их скалярное произведение равно \((-1)(-7)+(-7)(1)=7-7=0\), следовательно, диагонали перпендикулярны. Ромб с перпендикулярными диагоналями является квадратом.

Ответ: ABCD — ромб и одновременно квадрат.