C1. На рисунке AB || CD.

Решение:

а) Докажите, что AO: OC = BO: OD.

Рассмотрим треугольники ABO и CDO.

1. \( ∠ BAO = ∠ DCO \) как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.
2. \( ∠ ABO = ∠ CDO \) как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BD.
3. \( ∠ AOB = ∠ COD \) как вертикальные углы.

Следовательно, треугольники ABO и CDO подобны по двум углам (или по трем).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

\( \frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO} = \frac{AB}{CD} \).

Отсюда \( AO: OC = BO: OD \).

б) Найдите AB, если OD = 15 см, OB = 9 см, CD = 25 см.

Из подобия треугольников ABO и CDO имеем:

\( \frac{AO}{CO} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD} \).

Подставим известные значения:

\( \frac{9 \text{ см}}{15 \text{ см}} = \frac{AB}{25 \text{ см}} \).

\( \frac{3}{5} = \frac{AB}{25 \text{ см}} \).

\( AB = \frac{3}{5} \times 25 \text{ см} = 3 \times 5 \text{ см} = 15 \text{ см} \).

Ответ: а) Доказано. б) 15 см.