C1. В равнобедренном треугольнике ABC дано: AC = BC, AB = 10 см, ∠C = 90°, CM — медиана. Найдите величину |\(\overrightarrow{AB}\) − \(\overrightarrow{AC}\) + \(\overrightarrow{BM}\)|.

Так как \(CM\) — медиана к стороне \(AB\), точка \(M\) — середина \(AB\). Поэтому \(\overrightarrow{BM}=-\frac12\overrightarrow{AB}\).

По правилу треугольника \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}\).

Следовательно, \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{CB}-\frac12\overrightarrow{AB}\).

Поскольку треугольник прямоугольный равнобедренный, \(AC=BC=\frac{10}{\sqrt2}=5\sqrt2\) см. Векторы \(\overrightarrow{CB}\) и \(\overrightarrow{AB}\) перпендикулярны: угол между ними равен \(90^\circ\). Значит, длина их линейной комбинации находится по теореме Пифагора:

\(\left|\overrightarrow{CB}-\frac12\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{(5\sqrt2)^2+5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt3\) см.

Ответ: \(5\sqrt3\) см.