C1. Вычислите длину отрезка LE.

Введём векторы с началом в произвольной точке:

\[K=\frac23A+\frac13C,\qquad L=\frac15B+\frac45C.\]

Для правильного треугольника со стороной a получаем:

\[KL^2=a^2\left(\frac12\left(\frac49+\frac1{25}+\frac{49}{225}\right)\right)=\frac{79}{225}a^2.\]

Значит, \(KL=\frac{\sqrt{79}}{15}a\).

Из уравнения прямой KL следует, что \(LE=\frac{12}{7}KL\). Поэтому

\[LE=\frac{12}{7}\cdot\frac{\sqrt{79}}{15}a=\frac{4\sqrt{79}}{35}a.\]

Ответ: \(\frac{4\sqrt{79}}{35}a\).