C2. Решите систему уравнений: б) \(\begin{cases}\frac{x}{y}+14=9\sqrt{\frac{x}{y}},\\ x+y=50.\end{cases}\)

Введём \(t=\sqrt{\frac{x}{y}}\). Для существования корня и дроби требуется \(y\ne0\) и \(\frac{x}{y}\ge0\); значит, \(t\ge0\). Первое уравнение даёт \(t^2+14=9t\), откуда \(t^2-9t+14=0\).

Разложим на множители: \((t-2)(t-7)=0\). Поэтому \(t=2\) или \(t=7\), и соответственно \(\frac{x}{y}=4\) или \(\frac{x}{y}=49\).

Если \(x=4y\), то \(5y=50\), откуда \(y=10\), \(x=40\).

Если \(x=49y\), то \(50y=50\), откуда \(y=1\), \(x=49\).

Ответ: \((40;10)\), \((49;1)\).