C2. Решите уравнение: cos 2x + cos x = sin 3x

Применим формулы сложения:

\[\cos2x+\cos x=2\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2},\]

\[\sin3x=2\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{3x}{2}.\]

Тогда

\[2\cos\frac{3x}{2}\left(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{3x}{2}\right)=0.\]

1) \(\cos\frac{3x}{2}=0\):

\[x=\frac\pi3+\frac{2\pi k}{3}.\]

2) \(\cos\frac{x}{2}=\sin\frac{3x}{2}\). Решение этого уравнения даёт:

\[x=\frac\pi4+\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac\pi2+2\pi k.\]

где \(k\in\mathbb Z\).

Ответ: \(x=\frac\pi3+\frac{2\pi k}{3};\ \frac\pi4+\pi k;\ \frac\pi2+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\).