Calculate the values: a) \( \sqrt[3]{\frac{\sqrt{27}}{-\sqrt{3}}} + \frac{3\sqrt{3}-1}{3\sqrt{3}+1} \) b) \( \frac{8^{{\log_{64}}{16}}}{{\log_5{625}}} \) в) \( \log_3{\frac{162}{2}} - 4 \log_2{3} \cdot \log_3{2} \)

Решение:

Задание а)

1. Упрощаем первый корень:
   • \( \sqrt[3]{\frac{\sqrt{27}}{-\sqrt{3}}} = \sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}} = \sqrt[3]{-3} \)
2. Упрощаем вторую дробь (умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение):
   • \( \frac{3\sqrt{3}-1}{3\sqrt{3}+1} = \frac{(3\sqrt{3}-1)^2}{(3\sqrt{3}+1)(3\sqrt{3}-1)} = \frac{(3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2}{(3\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{27 - 6\sqrt{3} + 1}{27 - 1} = \frac{28 - 6\sqrt{3}}{26} = \frac{14 - 3\sqrt{3}}{13} \)
3. Складываем результаты:
   • \( \sqrt[3]{-3} + \frac{14 - 3\sqrt{3}}{13} \)

   Примечание: Без дальнейших уточнений или возможности использования приближенных значений, дальнейшее упрощение этой части сложно.

Задание б)

1. Упрощаем числитель:
   • \( 8^{{\log_{64}}{16}} \)
   • Сначала найдем \( \log_{64}{16} \). Пусть \( \log_{64}{16} = x \). Тогда \( 64^x = 16 \).
   • \( (4^3)^x = 4^2 \)
   • \( 4^{3x} = 4^2 \)
   • \( 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \)
   • Теперь подставляем: \( 8^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 = 2^2 = 4 \)
2. Упрощаем знаменатель:
   • \( \log_5{625} \)
   • \( 5^4 = 625 \), значит \( \log_5{625} = 4 \)
3. Делим числитель на знаменатель:
   • \( \frac{4}{4} = 1 \)

Задание в)

1. Первый член:
   • \( \log_3{\frac{162}{2}} = \log_3{81} \)
   • \( 3^4 = 81 \), значит \( \log_3{81} = 4 \)
2. Второй член:
   • \( 4 \log_2{3} \cdot \log_3{2} \)
   • Используем свойство логарифмов: \( \log_a{b} \cdot \log_b{a} = 1 \).
   • \( \log_2{3} \cdot \log_3{2} = 1 \)
   • Значит, второй член равен \( 4 \cdot 1 = 4 \)
3. Вычитаем:
   • \( 4 - 4 = 0 \)

Ответ:

а) \( \sqrt[3]{-3} + \frac{14 - 3\sqrt{3}}{13} \)
б) 1
в) 0