Часть 2 (задания среднего уровня, 2 задачи по 3 балла) 6. Арифметическая прогрессия 21-429-12. Найдите разность в сумму первых восьми членов. 7. В геометрической прогрессии 22-6, 24-2 (члены могут быть как положительными, так и отрицательными, но зная один). Найдите (два возможных знака), 21 и сумму первых трех членов

Решение:

6. Арифметическая прогрессия

Дано: a_1 = 4, a_3 = 12. Нужно найти разность d и сумму первых восьми членов S_8.

a_3 = a_1 + 2d => 12 = 4 + 2d => 2d = 8 => d = 4.

S_8 = (2a_1 + 7d) * 8 / 2 = (2*4 + 7*4) * 8 / 2 = (8 + 28) * 4 = 36 * 4 = 144.

Ответ: d = 4, S_8 = 144

7. Геометрическая прогрессия

Дано: b_2 = 6, b_4 = 2. Нужно найти b_1 и сумму первых трех членов S_3.

b_4 = b_2 * q^2 => 2 = 6 * q^2 => q^2 = 1 / 3 => q = ±√(1/3) = ±√3 / 3.

b_1 = b_2 / q => b_1 = 6 / (±√3 / 3) = ±6 * 3 / √3 = ±18 / √3 = ±6√3.

S_3 = b_1 * (1 - q^3) / (1 - q).

Для q = √3 / 3: S_3 = 6√3 * (1 - (√3 / 3)^3) / (1 - √3 / 3) = 6√3 * (1 - √3 / 9) / (1 - √3 / 3).

Для q = -√3 / 3: S_3 = -6√3 * (1 - (-√3 / 3)^3) / (1 + √3 / 3) = -6√3 * (1 + √3 / 9) / (1 + √3 / 3).

Ответ: q = ±√3 / 3, b_1 = ±6√3, S_3 = 6√3 * (1 - √3 / 9) / (1 - √3 / 3) или -6√3 * (1 + √3 / 9) / (1 + √3 / 3)