Часть 5. Логика и геометрический элемент

5.1. На клетчатой бумаге отмечены точки (1,2), (4,2), (3,5). Найдите координаты четвертой точки, чтобы получился параллелограмм (три варианта).

Обозначим данные точки как:

A = (1, 2)

B = (4, 2)

C = (3, 5)

Найдём координаты четвёртой точки D(x, y) для трёх возможных случаев:

1. ABCD — параллелограмм:
   В этом случае векторы AB и DC равны. \(\vec{AB} = (4-1, 2-2) = (3, 0)\). \(\vec{DC} = (3-x, 5-y)\).
   Приравниваем компоненты: \(3 = 3-x \rightarrow x=0\); \(0 = 5-y \rightarrow y=5\).
   D1 = (0, 5)
2. ACBD — параллелограмм:
   В этом случае векторы AC и DB равны. \(\vec{AC} = (3-1, 5-2) = (2, 3)\). \(\vec{DB} = (4-x, 2-y)\).
   Приравниваем компоненты: \(2 = 4-x \rightarrow x=2\); \(3 = 2-y \rightarrow y=-1\).
   D2 = (2, -1)
3. ADBC — параллелограмм:
   В этом случае векторы AD и CB равны. \(\vec{CB} = (4-3, 2-5) = (1, -3)\). \(\vec{AD} = (x-1, y-2)\).
   Приравниваем компоненты: \(1 = x-1 \rightarrow x=2\); \(-3 = y-2 \rightarrow y=-1\).
   D3 = (2, -1)

Ответ: Координаты четвёртой точки могут быть (0, 5), (2, -1) или (2, -1).