Часть Б 6. Найдите наименьшее значение функции f(x)=x3-3x2+2f(x)=x3-3x2+2 на отрезке [-1;3][-1;3]. 7. Решите уравнение sin 2x+sin x=2sin2x+sinx=2. В ответе укажите наименьший положительный корень (в градусах). 8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2у=х2 и у=2ху=2x.

Задание 6: Наименьшее значение функции

Найдем наименьшее значение функции \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) на отрезке \([-1; 3]\). Найдем производную \(f'(x) = 3x^2 - 6x\). Приравняем к нулю: \(3x(x - 2) = 0\). Корни: \(x = 0\) и \(x = 2\). Теперь вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка:

• \(f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2\)
• \(f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2\)
• \(f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2\)
• \(f(3) = 3^3 - 3(3)^2 + 2 = 27 - 27 + 2 = 2\)

Наименьшее значение: -2.

Задание 7: Решение тригонометрического уравнения

Решим уравнение \(\sin 2x + \sin x = 2\). Так как максимальное значение синуса равно 1, то уравнение выполняется, когда \(\sin 2x = 1\) и \(\sin x = 1\). Это возможно, когда \(2x = 90^\circ + 360^\circ k\) и \(x = 90^\circ + 360^\circ n\), где \(k, n \in \mathbb{Z}\). Тогда \(x = 45^\circ + 180^\circ k\). Наименьший положительный корень: 90°.

Задание 8: Вычисление площади фигуры

Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2\) и \(y = 2x\). Найдем точки пересечения: \(x^2 = 2x\), \(x^2 - 2x = 0\), \(x(x - 2) = 0\). Корни: \(x = 0\) и \(x = 2\). Площадь равна интегралу: \(\int_0^2 (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^2 = (4 - \frac{8}{3}) - (0 - 0) = \frac{4}{3}\). Ответ: 4/3.