25. Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника АВК к площади четырёхугольника КРСМ. От

Обозначим площадь треугольника ABC как S. Поскольку BM - медиана, площадь треугольника ABM равна половине площади треугольника ABC, то есть S(ABM) = S/2. K - середина медианы BM, следовательно, BK = KM. Тогда площадь треугольника ABK равна половине площади треугольника ABM, то есть S(ABK) = S(ABM)/2 = S/4. Прямая AK пересекает BC в точке P. По теореме Менелая для треугольника BCM и прямой AP: (BP/PC) * (CA/AM) * (MK/KB) = 1. Так как AM = MC и MK = KB, получаем (BP/PC) * 2 * 1 = 1, откуда BP/PC = 1/2, то есть BP = (1/3)BC и PC = (2/3)BC. Площадь треугольника ABP равна (BP/BC) * S(ABC) = (1/3)S. Площадь треугольника AKP равна S(ABP) - S(ABK) = (1/3)S - (1/4)S = (1/12)S. Площадь треугольника KCM равна S(BCM)/2 = S/4. Площадь четырёхугольника KPCM = S(KCM) + S(PKC) = S/4 + (1/6)S = 1/2 * PC * h = 1/2 *2/3 BC * h = 1/3 S(ACM) = S(PCM) = (2/3) * (1/2)S = 1/3*S. S(KPCM) = S(PCM) + S(BCM) = S/4+S/6 = 5/12 S. Искомое отношение S(ABK)/S(KPCM) = (S/4) / (5S/12) = (S/4) * (12/5S) = 12/20 = 3/5. Ответ: 3/5