25 Через середину О медианы BN треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке D. Найдите отношение площади треугольника АВО к площади четырёхугольника ODCN.

Пусть дан треугольник ABC, BN - медиана, O - середина медианы BN, через точку O и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке D. Найдём отношение площади треугольника ABO к площади четырёхугольника ODCN.

Пусть площадь треугольника ABC равна S, тогда площадь треугольника ABN равна площади треугольника BNC и равна $$\frac{S}{2}$$, так как BN - медиана, делящая треугольник ABC на два равновеликих треугольника.

Так как O - середина медианы BN, то BO = ON, следовательно, площадь треугольника ABO равна площади треугольника AON и равна $$\frac{1}{2} \cdot \frac{S}{2} = \frac{S}{4}$$.

Пусть площадь треугольника BON равна х, тогда площадь треугольника AON также равна х, следовательно, площадь треугольника ABN равна 2х, а площадь треугольника ABN равна $$\frac{S}{2}$$, следовательно, 2x = $$\frac{S}{2}$$, откуда x = $$\frac{S}{4}$$.

Проведём медиану NE в треугольнике BNC, тогда площадь треугольника NEC = $$\frac{1}{2} \cdot \frac{S}{2} = \frac{S}{4}$$.

Проведём отрезок OE, тогда площадь треугольника ONE = площади треугольника OEB =$$\frac{x}{2}$$, следовательно, площадь треугольника ONE =$$\frac{S}{8}$$.

Тогда площадь четырёхугольника ODCN равна сумме площадей треугольников DNC и OND.

Так как BD/DC = BO/OA, то D - точка пересечения медиан треугольника ABC.

Так как BN - медиана, O - середина медианы BN, то DO - тоже медиана.

Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, следовательно, площадь каждого из них равна $$\frac{S}{6}$$.

Треугольник DNC состоит из двух треугольников, каждый площадью $$\frac{S}{6}$$, значит площадь треугольника DNC равна $$\frac{2S}{6} = \frac{S}{3}$$.

Треугольник OND состоит из одного треугольника, площадь которого равна $$\frac{S}{6}$$.

Тогда площадь четырёхугольника ODCN равна $$\frac{S}{3} + \frac{S}{6} = \frac{2S + S}{6} = \frac{3S}{6} = \frac{S}{2}$$.

Тогда отношение площади треугольника ABO к площади четырёхугольника ODCN равно $$S_{ABO} : S_{ODCN} = \frac{S}{4} : \frac{S}{2} = \frac{S}{4} \cdot \frac{2}{S} = \frac{1}{2}$$.

Ответ: 1/2