Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаЧерез точки пересечения диагоналей грани ABCDA1B1C1D1 параллелепипеда найдите: а) \(\vec{B_1C_1} + \vec{AB} + \vec{BB_1} + \vec{B_1A_1}\), б) \(\vec{DC} - \vec{BB_1}\). ABCD A1B1C1D1. Точка M - пересечение диагоналей грани AB B1A1. BB1, C = BC. Разложить AM по \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\).
Ответ:
Решение:
Пусть \( \vec{a} = \vec{AB} \), \( \vec{b} = \vec{AD} \), \( \vec{c} = \vec{AA_1} \).
а) Разложение вектора \(\vec{B_1C_1} + \vec{AB} + \vec{BB_1} + \vec{B_1A_1}\):
В параллелепипеде \( \vec{B_1C_1} = \vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b} \).
\( \vec{AB} = \vec{a} \).
\( \vec{BB_1} = \vec{AA_1} = \vec{c} \).
\( \vec{B_1A_1} = \vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a} \).
Сумма векторов:
\( \vec{b} + \vec{a} + \vec{c} + (-\vec{a}) = \vec{b} + \vec{c} \).
б) Разложение вектора \(\vec{DC} - \vec{BB_1}\):
В параллелепипеде \( \vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a} \).
\( \vec{BB_1} = \vec{c} \).
Разность векторов:
\( \vec{a} - \vec{c} \).
Разложение вектора \(\vec{AM}\) по \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\):
Точка M — середина диагонали \( AB_1 \) грани \( ABB_1A_1 \).
\( \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AB_1}) \) - Неверно.
Правильно:
\( \vec{AM} = \vec{AA_1} + \frac{1}{2} \vec{A_1B_1} + \frac{1}{2} \vec{A_1M_1} \) - Неверно.
В грани \( ABB_1A_1 \): \( \vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{a} + \vec{c} \).
\( \vec{AM} = \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BB_1} \) - Это вектор к середине ребра, а не диагонали.
Правильный подход:
\( \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1}) \) - Это вектор к середине диагонали квадрата.
В грани \( ABB_1A_1 \), точка M - середина диагонали \( AB_1 \).
\( \vec{AM} = \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BB_1} \) - Это не вектор к середине диагонали.
\( \vec{AM} = \vec{A} + \frac{1}{2} \vec{AB_1} \) - Неверно.
\( \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AB_1}) \) - Неверно.
\( \vec{AM} = \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BB_1} \) - неверно.
\( \vec{AM} = \vec{AA_1} + \vec{A_1M} \)
\( \vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} \)
\( \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AB_1} \)
\( \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c}) \)
Ответ: а) \(\vec{b} + \vec{c}\); б) \(\vec{a} - \vec{c}\). Вектор \(\vec{AM}\) равен \(\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c})\).
Похожие
- Задание для П. Р. №8. I вариант: упростить выражение. II вариант: упростить выражение.
- Дан тетраэдр DABC. \(\vec{AB}=\vec{a}, \vec{AC}=\vec{b}, \vec{AD}=\vec{c}\). О - середина ребра DC. Разложить \(\vec{AO}\) по \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\).
- Дан тетраэдр MNPK. \(\vec{NM}=\vec{a}, \vec{NK}=\vec{b}, \vec{NP}=\vec{c}\). О - середина ребра MK. Разложить \(\vec{PO}\) по \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\).
