Дан тетраэдр MNPK. \(\vec{NM}=\vec{a}, \vec{NK}=\vec{b}, \vec{NP}=\vec{c}\). О - середина ребра MK. Разложить \(\vec{PO}\) по \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\).

Решение:

Используем правило параллелограмма для сложения векторов.

\( \vec{PO} = \vec{PN} + \vec{NO} \).

\( \vec{PN} = -\vec{NP} = -\vec{c} \).

\( \vec{NO} \) - вектор, соединяющий вершину N с серединой ребра MK.

\( \vec{NM} = \vec{a} \), \( \vec{NK} = \vec{b} \), \( \vec{NP} = \vec{c} \).

\( \vec{MK} = \vec{NK} - \vec{NM} = \vec{b} - \vec{a} \).

\( \vec{NO} = \vec{NM} + \frac{1}{2} \vec{MK} = \vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} \).

Теперь подставим \( \vec{PN} \) и \( \vec{NO} \) в формулу для \( \vec{PO} \):

\( \vec{PO} = \vec{PN} + \vec{NO} = -\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c} \).

Ответ: \(\vec{PO} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}\).