Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке B, другая пересекает окружность в точке K и C. Известно что AB = 5, BC = 15. Найдите AK.

Применим теорему о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Теорема гласит: квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть. В нашем случае, AB - касательная, AC - секущая, AK - внешняя часть секущей. Тогда, $$AB^2 = AK \cdot AC$$ Из условия известно, что AB = 5, BC = 15. Тогда AC = AK + KC = AK + BC = AK + 15. Подставим известные значения в уравнение: $$5^2 = AK \cdot (AK + 15)$$ $$25 = AK^2 + 15AK$$ $$AK^2 + 15AK - 25 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно AK: $$AK = \frac{-15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25)}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 100}}{2} = \frac{-15 \pm \sqrt{325}}{2} = \frac{-15 \pm 5\sqrt{13}}{2}$$ Так как длина не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: $$AK = \frac{-15 + 5\sqrt{13}}{2} \approx \frac{-15 + 5 \cdot 3.6}{2} = \frac{-15 + 18}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$$ Итак, $$AK = \frac{-15 + 5\sqrt{13}}{2} \approx 1.5$$ Ответ: $$\frac{-15 + 5\sqrt{13}}{2} \approx 1.5$$