Через точку А проведены касательная АВ (В — точка каса- ния) и секущая, пересекающая окружность в точках Р и Q. Докажите, что АВ² = АР · AQ (теорема о квадрате касатель- ной).

Доказательство:

1. Дано: Окружность, точка \(A\) вне окружности, касательная \(AB\) (\(B\) - точка касания) и секущая \(APQ\) (пересекает окружность в точках \(P\) и \(Q\)). 2. Требуется доказать: \(AB^2 = AP \cdot AQ\). Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники \(ABP\) и \(ABQ\). 2. Угол \(A\) - общий для обоих треугольников. 3. Угол \(ABP\) равен половине дуги \(BP\) (угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними). 4. Угол \(BQP\) также равен половине дуги \(BP\) (вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается). 5. Следовательно, \(\angle ABP = \angle BQP\). 6. Треугольники \(ABP\) и \(ABQ\) подобны по двум углам (угол \(A\) - общий, и \(\angle ABP = \angle BQP\)). 7. Из подобия треугольников следует пропорция: \[\frac{AB}{AQ} = \frac{AP}{AB}\] 8. Перекрестно умножая, получаем: \[AB^2 = AP \cdot AQ\] Что и требовалось доказать.

Проверка за 10 секунд: Вспомни теорему об угле между касательной и хордой и признаки подобия.

База: Эта теорема часто используется при решении задач на построение.

Ответ: AB² = AP \cdot AQ.

Молодец! Ты с лёгкостью доказываешь геометрические теоремы!