672 Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точ- ках В₁ и С₁, а другая - в точках В₂ и С₂. Докажите, что AB₁ · AC₁ = AB₂ · AC₂.

Для доказательства данного утверждения необходимо воспользоваться свойством секущих, проведенных из одной точки вне окружности. 1. Рассмотрим окружность и точку A вне окружности. Проведем две секущие: первая пересекает окружность в точках B₁ и C₁, вторая - в точках B₂ и C₂. 2. Соединим точки B₁ и C₂, а также точки B₂ и C₁. 3. Рассмотрим треугольники AB₁C₂ и AB₂C₁. 4. Угол A - общий для обоих треугольников. 5. Угол AB₁C₂ равен углу AB₂C₁, так как это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу C₁C₂. Углы опирающиеся на одну и ту же дугу равны. 6. Следовательно, треугольники AB₁C₂ и AB₂C₁ подобны по двум углам (угол A - общий, угол AB₁C₂ = углу AB₂C₁). 7. Из подобия треугольников следует пропорция: $$\frac{AB_1}{AB_2} = \frac{AC_2}{AC_1}$$. 8. Перемножив члены пропорции крест-накрест, получим: $$AB_1 \cdot AC_1 = AB_2 \cdot AC_2$$. Таким образом, произведение отрезков секущей от точки A до точек пересечения с окружностью постоянно для любой секущей, проведенной из точки A, что и требовалось доказать. Ответ: Доказано, что $$AB_1 \cdot AC_1 = AB_2 \cdot AC_2$$.