2. Через точку М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, перпендикулярная высоте BD и пересекающая сторону ВС в точке Р; ВМ=5см, ВР=8см, ВС=24см. Найдите: а) АВ; б) отношение площадей треугольников МРВ и АВС.

2. а) Так как прямая MP перпендикулярна высоте BD, то MP || AC (как два перпендикуляра к одной прямой).

Значит, треугольники BMP и BAC подобны (по двум углам: ∠B - общий, ∠BMP = ∠BAC как соответственные при параллельных прямых).

Из подобия треугольников BMP и BAC следует соотношение сторон: BM / BA = BP / BC.

Дано: BM = 5 см, BP = 8 см, BC = 24 см.

Подставим известные значения: 5 / BA = 8 / 24.

5 / BA = 1 / 3.

BA = 5 * 3 = 15 см.

б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Коэффициент подобия k = BM / BA = 5 / 15 = 1 / 3.

Отношение площадей S(MPB) / S(ABC) = k² = (1 / 3)² = 1 / 9.

Ответ: а) АВ = 15 см; б) S(MPB) / S(ABC) = 1 / 9