Контрольная работа №3 «Подобие треугольников» 8 кл. 1 вариант 1. На стороне АС треугольника АВС выбрана точка D так, что DC=2AD, точка М-середина АВ, точка N- середина стороны BD; MN=6см, ∠BDC=140°. Найдите длину стороны АС и величину MNB.

1. Обозначим AD = x, тогда DC = 2x, следовательно, AC = AD + DC = x + 2x = 3x.

Пусть K - середина BC. Тогда MK - средняя линия треугольника ABC, и MK || AC, MK = 0.5AC.

KN - средняя линия треугольника BCD, и KN || DC, KN = 0.5DC.

Угол между MK и KN равен углу между AC и DC, то есть ∠MKN = ∠ACD.

Рассмотрим треугольник MKN. Известно, что MN = 6 см.

MK = 0.5AC = 0.5 * 3x = 1.5x.

KN = 0.5DC = 0.5 * 2x = x.

∠MKN = ∠BDC = 140° (как соответственные углы при параллельных прямых).

В треугольнике MKN известны две стороны и угол между ними. Можно воспользоваться теоремой косинусов:

MN² = MK² + KN² - 2 * MK * KN * cos(∠MKN)

6² = (1.5x)² + x² - 2 * 1.5x * x * cos(140°)

36 = 2.25x² + x² - 3x² * cos(140°)

36 = 3.25x² - 3x² * (-0.766) (cos(140°) ≈ -0.766)

36 = 3.25x² + 2.298x²

36 = 5.548x²

x² = 36 / 5.548 ≈ 6.488

x ≈ √6.488 ≈ 2.547 см

AC = 3x ≈ 3 * 2.547 ≈ 7.641 см

Для нахождения угла MNB, рассмотрим треугольники MNC и KNB: NC = KN и NB общая сторона.

Следовательно, ∠MNB = 180° - ∠MNK

Ответ: AC ≈ 7.641 см; ∠MNB = 180° - ∠MNK