3. Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями а и в, проведены прямые 1 и т. Прямая / пересекает плоскости а и в в точках А1 и А2 соответственно, прямая т - в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А2В2, если А1В₁ = 12 см, В₁О: ОВ₂ = 3:4.

Пусть плоскости α и β параллельны. Прямая l пересекает α в точке A₁, а β в точке A₂. Прямая m пересекает α в точке B₁, а β в точке B₂. Точка O лежит между плоскостями α и β на обеих прямых.

Из условия задачи дано: A₁B₁ = 12 см, B₁O : OB₂ = 3 : 4.

Заметим, что треугольники A₁OB₁ и A₂OB₂ подобны (по двум углам: углы при вершине O вертикальные, а углы при A₁ и A₂ равны как накрест лежащие при параллельных плоскостях α и β и секущей l).

Тогда можно записать отношение сторон:

$$\frac{A_2B_2}{A_1B_1} = \frac{OB_2}{OB_1}$$

Из условия B₁O : OB₂ = 3 : 4, следовательно, $$\frac{OB_2}{OB_1} = \frac{4}{3}$$

Тогда $$\frac{A_2B_2}{12} = \frac{4}{3}$$

$$A_2B_2 = \frac{4}{3} \cdot 12 = 4 \cdot 4 = 16$$

Ответ: A₂B₂ = 16 см.