9.9. Через центр О квадрата ABCD проведена прямая МО, перпендику- лярная плоскости квадрата (рис. 9.19). Найдите расстояние от точ- ки М до вершины D, если AD = 4√2 см, МО = 2 см.

1) Рассмотрим квадрат ABCD. Точка O - центр квадрата, то есть точка пересечения диагоналей. Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Найдем диагональ квадрата AC.

$$AC = AD\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см}$$.

2) Так как O - середина диагонали AC, то

$$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ см}$$.

3) Так как квадрат, то $$AO = OD = 4 \text{ см}$$.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник MOD, где MO - перпендикуляр к плоскости квадрата, OD = 4 см, MO = 2 см. По теореме Пифагора:

$$MD^2 = MO^2 + OD^2$$

$$MD^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$$

$$MD = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ см}$$

Ответ: $$2\sqrt{5}$$ см