9.8. Через центр О правильного треугольника АВС проведена пря- мая DO, перпендикулярная плоскости АВС (рис. 9.18). Найдите от- резок DO, если АВ = 6 см, DA = 4 см.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться знаниями о правильном треугольнике и теореме Пифагора.

1) Так как точка O - центр правильного треугольника ABC, то она является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть AH - высота треугольника ABC. Тогда AO = (2/3)AH.

2) Найдем высоту AH правильного треугольника ABC со стороной AB = 6 см.

AH является также медианой, поэтому BH = HC = AB/2 = 6/2 = 3 см.

3) По теореме Пифагора для треугольника ABH:

$$AH^2 + BH^2 = AB^2$$

$$AH^2 = AB^2 - BH^2$$

$$AH^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27$$

$$AH = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ см}$$

4) Найдем AO:

$$AO = \frac{2}{3} AH = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$$

5) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник DAO, где DO - перпендикуляр к плоскости ABC, DA = 4 см, AO = 2√3 см.

По теореме Пифагора:

$$DO^2 + AO^2 = DA^2$$

$$DO^2 = DA^2 - AO^2$$

$$DO^2 = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - 12 = 4$$

$$DO = \sqrt{4} = 2 \text{ см}$$

Ответ: 2 см