9.10. Точка О — центр грани ABCD куба ABCDAB₁С₁D₁, ребро которого равно а (рис. 9.20). Найдите: 1) расстояние от точки О до вершины В₁ куба; 2) тангенс угла между прямыми В₁О и DD1.

1) Пусть ребро куба равно a. Точка O - центр грани ABCD, то есть точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDА₁В₁С₁D₁.

Расстояние от точки О до вершины B₁ куба - это длина отрезка OB₁.

Найдем OB₁. Рассмотрим прямоугольный треугольник ОВB₁.

OB₁ - гипотенуза. OB - половина диагонали квадрата ABCD. BB₁ = a - ребро куба.

Найдем диагональ квадрата ABCD:

$$BD = a\sqrt{2}$$.

Тогда $$OB = \frac{1}{2} BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$.

По теореме Пифагора для треугольника ОВB₁:

$$OB_1^2 = OB^2 + BB_1^2$$

$$OB_1^2 = (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 + a^2 = \frac{2a^2}{4} + a^2 = \frac{a^2}{2} + a^2 = \frac{3a^2}{2}$$

$$OB_1 = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$$

2) Найдем тангенс угла между прямыми В₁О и DD₁.

Прямая DD₁ параллельна прямой BB₁, поэтому угол между прямыми В₁О и DD₁ равен углу между прямыми В₁О и BB₁.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ОВB₁.

Тангенс угла OB₁B равен отношению противолежащего катета OB к прилежащему BB₁:

$$tg(\angle OB_1B) = \frac{OB}{BB_1} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: 1) $$\frac{a\sqrt{6}}{2}$$; 2) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$