Через вершину А треугольника АВС проведена прямая MN, параллельная основанию ВС. Образовавшиеся при этом три угла с вершиной А относятся как 5:4:9. Чему равен больший угол треугольника АВС?

Решение:

Пусть углы при вершине А относятся как 5:4:9. Обозначим их как \( 5x \), \( 4x \) и \( 9x \).

1. Сумма этих углов равна 180 градусам, так как они образуют развернутый угол при вершине А, если предположить, что прямая MN проходит через А и делит угол А на три части. Однако, из условия задачи следует, что \( MN \) — прямая, параллельная \( BC \), проходящая через вершину \( A \). Это означает, что \( MN \) не делит угол \( A \) на три части, а скорее является прямой, проходящей через \( A \) параллельно \( BC \). Поэтому, предположение о сумме углов \( 5x+4x+9x = 180^{\circ} \) не совсем корректно в контексте деления угла \( A \).
2. Перечитав условие, становится ясно, что "образовавшиеся при этом три угла с вершиной А" подразумевают, что прямая \( MN \) проходит через \( A \) и делит угол \( A \) на три части. Поэтому, сумма углов равна \( 180^{\circ} \).
3. \( 5x + 4x + 9x = 180^{\circ} \)
4. \( 18x = 180^{\circ} \)
5. \( x = \frac{180^{\circ}}{18} = 10^{\circ} \)
6. Углы равны: \( 5x = 5 \cdot 10^{\circ} = 50^{\circ} \), \( 4x = 4 \cdot 10^{\circ} = 40^{\circ} \), \( 9x = 9 \cdot 10^{\circ} = 90^{\circ} \).
7. Больший угол равен \( 9x = 90^{\circ} \).

Ответ: 90°.