Через вершину B квадрата ABCD проведена прямая BM. Известно, что ∠MBA = ∠MBC = 90°; MB = 20, AB = 21√2. Найдите расстояния от точки M до: а) вершин A, B, C, D квадрата; б) прямых AC и BD.

а) Поскольку MB перпендикулярна двум пересекающимся прямым BA и BC плоскости квадрата, MB перпендикулярна плоскости ABCD. Сторона квадрата равна 21√2, а диагональ — 42.

MB = 20. Для вершин A и C применяем теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках MBA и MBC: MA = MC = √(20² + (21√2)²) = √1282. Для вершины B: MB = 20. Для D используем диагональ BD = 42: MD = √(20² + 42²) = √2164 = 2√541.

б) Расстояние от B до диагонали AC равно половине расстояния между параллельными сторонами квадрата, то есть половине его диагонали: 21. Перпендикуляр от M к плоскости квадрата попадает в B, поэтому расстояние от M до AC равно √(MB² + 21²) = √841 = 29. Прямая BD проходит через B, поэтому расстояние от M до BD равно MB = 20.

Ответ: а) MA = MC = √1282, MB = 20, MD = 2√541; б) расстояние до AC — 29, до BD — 20.