В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a точка M — середина ребра CC₁. Найдите расстояние от точки M до плоскости BDD₁.

Введём координаты: A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0), а верхние вершины имеют координату z = a. Тогда M — середина CC₁, поэтому M(a, a, a/2).

Плоскость BDD₁ проходит через B(a, 0, 0), D(0, a, 0) и D₁(0, a, a); её уравнение x + y = a. Расстояние от M до этой плоскости равно |a + a − a|/√(1² + 1²) = a/√2.

Ответ: a/√2.