5. Через вершину острого угла проведены две прямые, перпендикулярные к сторонам угла. Докажите, что сумма тупого угла, образованного этими прямыми, и данного острого угла равна 180°.

Пусть дан острый угол $$α$$. Через вершину этого угла проведены две прямые, перпендикулярные его сторонам. Обозначим тупой угол, образованный этими прямыми, как $$β$$.

Рассмотрим четырехугольник, образованный сторонами угла $$α$$ и проведенными перпендикулярами. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Два угла в этом четырехугольнике прямые (по 90°), угол между перпендикулярами равен $$β$$, а угол между сторонами исходного угла равен $$α$$. Таким образом, $$α + 90° + β + 90° = 360°$$.

Отсюда $$α + β + 180° = 360°$$, следовательно $$α + β = 360° - 180° = 180°$$.

Таким образом, сумма тупого угла, образованного перпендикулярами, и данного острого угла равна 180°.