571 Через вершину С треугольника АВС проведена прямая m, параллельная стороне АВ. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием АВ имеют равные площади.

Для доказательства рассмотрим два треугольника с вершинами на прямой m и основанием АВ. Поскольку прямая m параллельна стороне АВ, то высота обоих треугольников, проведённая из вершины к основанию АВ, будет одинаковой и равной расстоянию между прямой m и стороной АВ.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$, где a - длина основания, h - высота, проведённая к этому основанию. В нашем случае, основание АВ общее для всех рассматриваемых треугольников, и высота h у них тоже одинакова.

Следовательно, площади всех треугольников с вершинами на прямой m и основанием АВ равны, что и требовалось доказать.