171. Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные диагоналям. Докажите, что точки пересечения этих прямых являются вершинами квадрата.

Для доказательства того, что точки пересечения прямых, проведенных через вершины квадрата параллельно его диагоналям, образуют квадрат, рассмотрим следующее:

1. Пусть ABCD - данный квадрат.
2. Проведем через каждую вершину прямую, параллельную одной из диагоналей квадрата. Например, через вершину A проводим прямую, параллельную диагонали BD, а через вершину B - прямую, параллельную диагонали AC.
3. Обозначим точки пересечения этих прямых как E, F, G и H, где E - точка пересечения прямой, проведенной через A параллельно BD, и прямой, проведенной через B параллельно AC.
4. Поскольку диагонали квадрата перпендикулярны друг другу, то прямые, проведенные параллельно диагоналям через соседние вершины, также перпендикулярны друг другу. Это означает, что углы между прямыми в точках E, F, G и H прямые.
5. Таким образом, EFGH - прямоугольник.
6. Далее, докажем, что стороны EFGH равны. Прямые, проведенные через вершины квадрата параллельно диагоналям, образуют углы в 45 градусов с каждой из сторон квадрата ABCD. Из этого следует, что треугольники, образующиеся у вершин квадрата (например, треугольник ABE), являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.
7. Следовательно, AE = BE = BF = CF = CG = DG = DH = AH.
8. Из равенства этих отрезков следует, что стороны прямоугольника EFGH равны, то есть EF = FG = GH = HE.
9. Поскольку EFGH - прямоугольник с равными сторонами, то EFGH - квадрат.

Таким образом, точки пересечения прямых, проведенных через вершины квадрата параллельно его диагоналям, являются вершинами квадрата.