173. Точки М, К, N, P являются соответственно серединами сторон АВ, BC, CD и AD квадрата ABCD. Докажите, что четырёхугольник MKNP – квадрат.

Дано: Квадрат ABCD, M, K, N, P - середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно.

Доказать: MKNP - квадрат.

Решение:

1. Соединим точки M, K, N, P последовательно. Рассмотрим четырехугольник MKNP.
2. Рассмотрим треугольники ABK и KCD. MK и KN - средние линии в этих треугольниках.
3. MK || AC и KN || AC. Следовательно, MK || KN. Аналогично, NP || BD и PM || BD.
4. Так как диагонали квадрата перпендикулярны (AC ⊥ BD), то MK ⊥ KN. Аналогично KN ⊥ NP, NP ⊥ PM, PM ⊥ MK.
5. Следовательно, углы четырехугольника MKNP прямые.
6. Найдем длины сторон MK и KN.
7. MK = 1/2 * AC (средняя линия треугольника ABC).
8. KN = 1/2 * BD (средняя линия треугольника BCD).
9. Так как AC = BD (диагонали квадрата равны), то MK = KN.
10. Аналогично, NP = PM = MK = KN.
11. Таким образом, все стороны четырехугольника MKNP равны.
12. Поскольку все углы четырехугольника MKNP прямые, и все стороны равны, то MKNP - квадрат.

Следовательно, четырёхугольник MKNP является квадратом.