172. В прямоугольном треугольнике через точку пересечения биссектрисы прямого угла и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что образовавшийся четырёхугольник является квадратом.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.

1. Проведем биссектрису угла C. Пусть O - точка пересечения этой биссектрисы с гипотенузой AB.
2. Через точку O проведем прямые, параллельные катетам AC и BC. Пусть эти прямые пересекают AC в точке D и BC в точке E.
3. Тогда CDOE - четырехугольник, образованный этими прямыми.
4. Поскольку CD || OE и CE || OD, то CDOE - параллелограмм.
5. Так как угол C прямой, то CDOE - прямоугольник.
6. По условию CO - биссектриса угла C, следовательно, угол DCO = углу ECO = 45 градусов.
7. Рассмотрим треугольник CDO. Угол CDO = 90 градусов (так как CD || AC и угол C прямой). Угол DCO = 45 градусов. Следовательно, угол DOC = 180 - 90 - 45 = 45 градусов.
8. Таким образом, треугольник CDO - равнобедренный (так как углы DCO и DOC равны). Следовательно, CD = DO.
9. Аналогично, треугольник CEO - равнобедренный, и CE = EO.
10. Поскольку CDOE - прямоугольник, то DO = CE и CD = OE.
11. Из равенства CD = DO и DO = CE следует, что CD = CE.
12. Таким образом, прямоугольник CDOE имеет равные смежные стороны CD и CE. Следовательно, CDOE - квадрат.

Четырёхугольник CDOE является квадратом.