16. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K. BK = 4, DK = 12, BC = 21. Найдите AD.

По теореме о секущихся, если из точки K проведены две секущие к окружности, то произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой секущей, то есть: (KB \cdot KA = KD \cdot KC) Пусть (AD = x). Тогда (KA = KB + BA), и (KC = KD + DC). Также (KC = KB + BC), то есть (KC = 4+21=25). Теперь мы знаем (KB = 4), (KD = 12), (KC = 25). Чтобы найти (KA), мы должны использовать подобие треугольников. Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность, углы \(\angle KAD = \angle KCB\) как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Угол \(\angle AKD\) общий для треугольников \(\triangle KAD\) и \(\triangle KCB\). Значит, эти треугольники подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует: \(\frac{AD}{BC} = \frac{KD}{KB}\) \(\frac{AD}{BC} = \frac{KA}{KC}\) Мы знаем, что (BC = 21), (KD = 12), (KB = 4), (KC = 25). Нам нужно найти (AD), то есть (x). Так как \(\frac{KA}{KC} = \frac{KD}{KB}\) то \(\frac{KA}{25} = \frac{12}{4}\), отсюда (KA = \frac{12 \cdot 25}{4} = 75\). Теперь используем (KB \cdot KA = KD \cdot KC\): (4 \cdot 75 = 12 \cdot KC\), то есть (300 = 12 \cdot 25\). Следовательно, мы все сделали правильно. Используем подобие треугольников: \(\frac{x}{21} = \frac{12}{4}\). Отсюда (x = \frac{12 \cdot 21}{4} = 3 \cdot 21 = 63\). Ответ: 63