6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 34°, ∠ABD = 42° и ∠BDC = 52°. Найдите углы четырёхугольника.

1. Найдем угол ABC. ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 42° + 34° = 76°. 2. Найдем угол BAC. Угол BAC опирается на дугу BC, а угол BDC тоже опирается на дугу BC. Значит, ∠BAC = ∠BDC = 52°. 3. Найдем угол ADC. Угол ADC опирается на дугу AC. Угол ABC опирается на дугу AC. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Следовательно, ∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 76° = 104°. 4. Найдем угол ACB. Угол ADB опирается на дугу AB, и угол ACB опирается на дугу AB. ∠ADB = ∠ABD = 42°, значит, ∠ACB = 42°. 5. Найдем угол BCD. ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD. ∠BCA = 42°. 6. Четырехугольник вписан в окружность, значит сумма углов BAD + BCD = 180°. Отсюда угол BCD = 180 - BAD. 7. Угол BAD = углу BAC + углу CAD. CAD = BCD - BCA. 8. Угол BAC = 52 градуса, угол BDC = 52 градуса. 9. Угол D = углу DBC + углу BDC = 34 + 52 = 86. 10. Угол BAD = 180 - BCD. 11. Угол A = углу BAC + углу CAD. 12. Угол CAD = углу CBD = 34 градуса, так как они оба опираются на одну и ту же дугу CD. 13. Угол BAD = 52 + 34 = 86 градусов. 14. Угол BCD = 180 - 86 = 94 градусов. Ответ: ∠ABC = 76°, ∠ADC = 104°, ∠BAD = 86°, ∠BCD = 94°.