3. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC = 80°, угол CAD = 45°. Найдите угол ACD.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Угол CAD опирается на дугу CD. Угол CBD тоже опирается на дугу CD. Следовательно, ∠CBD = ∠CAD = 45°. Угол ABD = ∠ABC - ∠DBC = 80° - 45° = 35°. Углы ADB и ACB опираются на одну и ту же дугу AB, поэтому ∠ADB = ∠ACB. Сумма углов треугольника равна 180°. Рассмотрим треугольник ABD: ∠ADB = 180° - ∠ABD - ∠BAD. Чтобы найти ∠BAD, заметим, что ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD. Угол BAC опирается на дугу BC, а угол BDC также опирается на дугу BC, следовательно, ∠BAC = ∠BDC = 52°. Таким образом, ∠BAD = 52° + 45° = 97°. Тогда ∠ADB = 180° - 35° - 97° = 48°. Значит, ∠ACB = 48°. ∠ACD = ∠ACB + ∠BCD. ∠BCD = ∠BAD = 97°. ∠ACD = 48°. Ответ: Угол ACD = 35°.