16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 6, DK = 10, BC = 12. Найдите AD.

По свойству секущихся окружности, произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой секущей. То есть: $$KB \cdot KA = KD \cdot KC$$ Пусть AD = x. Тогда KC = KD + DC и KA = KB + BA. Но нам нужно найти AD, поэтому введём другие обозначения. $$KB \cdot (KB + AB) = KD \cdot (KD + DC)$$ По теореме о секущихся $$KB \cdot (KB + BA) = KC \cdot (KC + CD)$$. Из подобия треугольников $$\triangle KBC \sim \triangle KDA$$ следует: $$\frac{KB}{KD} = \frac{BC}{AD}$$ Подставляем известные значения: $$\frac{6}{10} = \frac{12}{AD}$$ $$AD = \frac{12 \cdot 10}{6} = 20$$ Ответ: **20**