124. Четырёхугольник ABCD вписан в окруж- ность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке K, BK=12, DK=16, BC = 24. Найдите AD.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, прямые AB и CD пересекаются в точке K. BK = 12, DK = 16, BC = 24.

Рассмотрим треугольники KBC и KDA. Угол BKC общий, углы KBC и KDA опираются на одну и ту же дугу, значит, они равны. Следовательно, треугольники KBC и KDA подобны.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

\[\frac{KB}{KD} = \frac{BC}{AD}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{12}{16} = \frac{24}{AD}\]

Решим уравнение относительно AD:

\[AD = \frac{24 \cdot 16}{12}\] \[AD = 2 \cdot 16 = 32\]

Ответ: AD = 32.

Проверка за 10 секунд: AD больше BC во столько же раз, во сколько KD больше KB.

Читерский прием: Если треугольники KBC и KDA подобны, то стороны относятся пропорционально. Находим коэффициент подобия и вычисляем AD.