125. Четырёхугольник ABCD вписан в окруж- ность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке K, BK-14, DK=10, BC=21. Найдите AD.

Смотри, тут всё просто: когда две секущиеся прямые пересекаются вне окружности, произведение внешней части одной секущей на всю секущую равно произведению внешней части другой секущей на всю секущую.

Логика такая:

1. Запишем свойство секущихся прямых для нашего случая: \[BK \cdot AK = DK \cdot CK\]
2. Выразим AK и CK через известные величины: \(AK = AB + BK\) и \(CK = CD + DK\).
3. Подставим эти выражения в исходное уравнение: \[BK \cdot (AB + BK) = DK \cdot (CD + DK)\]
4. Нам нужно найти AD. Заметим, что \(BC = 21\), \(BK = 14\), \(DK = 10\). Пусть \(AD = x\). Тогда: \(14 \cdot (14 + AB) = 10 \cdot (10 + CD)\)
5. Выразим AB и CD через известные величины. Заметим, что по свойству вписанного четырехугольника: \(AB \cdot CD = BK \cdot DK - AD \cdot BC\) \(AB \cdot CD = 14 \cdot 10 - x \cdot 21\) \(AB \cdot CD = 140 - 21x\)
6. Теперь нам нужно найти AD. Заметим, что по свойству вписанного четырехугольника: \(BK \cdot AK = DK \cdot CK\) \(14 \cdot (14 + AB) = 10 \cdot (10 + CD)\) \(196 + 14AB = 100 + 10CD\) \(14AB - 10CD = -96\) \(7AB - 5CD = -48\)
7. Из свойства секущихся, проведенных из точки K: \(KA \cdot KB = KC \cdot KD\) \((AB + 14) \cdot 14 = (12 + CD) \cdot 10\) \(14AB + 196 = 10CD + 100\) \(14AB - 10CD = -96\) Разделим на 2: \(7AB - 5CD = -48\)
8. Также из теоремы о произведениях отрезков хорд (или из подобия треугольников BKA и DKC): \(\frac{AD}{BC} = \frac{DK}{BK}\) \(\frac{AD}{21} = \frac{10}{14}\) \(AD = \frac{10 \cdot 21}{14} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15\)

Ответ: AD = 15

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденное значение AD соответствует пропорции секущих.

Доп. профит: Читерский прием: Запомни формулу для быстрого решения подобных задач с секущими хордами.