11. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК = 7, DK = 14, BC = 10. Найдите AD.

Если четырехугольник ABCD вписан в окружность, а прямые AB и CD пересекаются в точке K, то справедливо соотношение:

$$KB \cdot KA = KC \cdot KD$$

Пусть AD = x.

По теореме о секущих:

$$KB \cdot (KB + AB) = KD \cdot (KD + DC)$$ $$7 \cdot (7 + AB) = 14 \cdot (14 + DC)$$ $$7 + AB = 2 \cdot (14 + DC)$$ $$AB = 28 + 2DC - 7 = 21 + 2DC$$

По теореме косинусов для треугольника KBC:

$$KC^2 = KB^2 + BC^2 - 2 \cdot KB \cdot BC \cdot cos∠B$$ $$(KD + DC)^2 = KB^2 + BC^2 - 2 \cdot KB \cdot BC \cdot cos∠B$$ $$(14 + DC)^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot cos∠B$$ $$196 + 28DC + DC^2 = 49 + 100 - 140 \cdot cos∠B$$ $$DC^2 + 28DC + 47 = -140 \cdot cos∠B$$

По теореме косинусов для треугольника KAD:

$$KA^2 = KD^2 + AD^2 - 2 \cdot KD \cdot AD \cdot cos∠D$$ $$(KB + AB)^2 = KD^2 + AD^2 - 2 \cdot KD \cdot AD \cdot cos∠D$$ $$(7 + 21 + 2DC)^2 = 14^2 + x^2 - 2 \cdot 14 \cdot x \cdot cos∠D$$ $$(28 + 2DC)^2 = 196 + x^2 - 28x \cdot cos∠D$$ $$784 + 112DC + 4DC^2 = 196 + x^2 - 28x \cdot cos∠D$$ $$4DC^2 + 112DC + 588 = x^2 - 28x \cdot cos∠D$$

Т.к. ABCD - вписанный, то ∠B + ∠D = 180° ⇒ cos∠B = -cos∠D

Решить данную систему уравнений не представляется возможным.

Ответ: нет решения.