16. Четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность. Угол $$ABC$$ равен $$120^\circ$$, угол $$CAD$$ равен $$74^\circ$$. Найдите угол $$ABD$$. Ответ дайте в градусах.

Дано: Четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, $$\angle ABC = 120^\circ$$, $$\angle CAD = 74^\circ$$. Найти: $$\angle ABD$$. Решение: $$\angle ABD$$ и $$\angle ACD$$ - вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $$AD$$. Следовательно, $$\angle ABD = \angle ACD$$. $$\angle ACD$$ является частью угла $$BCD$$. Найдем угол $$BCD$$. Так как четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$. Следовательно, $$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$$ и $$\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ$$. $$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$. $$\angle ACD = \angle BCD - \angle ACB$$. $$\angle ACB$$ и $$\angle ADB$$ - вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $$AB$$. Тогда $$\angle ACB = \angle ADB$$. $$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$$, $$ \angle CAD = 74^\circ$$. $$\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$. $$\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD = 120^\circ - 74^\circ = 46^\circ$$. $$\angle ACB = \angle ADB$$. $$\angle ACD = \angle BCD - \angle ACB = 60^\circ - \angle ACB$$. $$\angle ABD = \angle ACD$$. $$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 120^\circ$$. $$\angle DBC = \angle DAC = 74^\circ$$, так как опираются на одну и ту же дугу $$DC$$. $$\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 120^\circ - 74^\circ = 46^\circ$$. Ответ: 46.